Mõistete kujundamine matemaatikas
Anu Palu
Tegutsemise, vaatlemise ja katsetamise tulemusel kujuneb lapse tajutud, kogetud maailm. Sellise vahetu kogemuse põhjal kujunevad tavamõisted, milles on üldistatud konkreetseid seoseid otseselt nähtu järgi. Täiskasvanute abstraktne, konstrueeritud maailm on kujunenud aastate jooksul õppides, kus olulised on mõistetevahelised seosed, mitte seosed asjade (otseselt tajutava, nähtava, kogetu) vahel. Neid teadmisi esitatakse teadusmõistetena (Kikas, 2008).
Mõiste on aluseks igasugusele mõtlemisele. Mõtlemise ühikute arengu etapid arengulises järjekorras on tavamõisted, teaduslikud mõisted ja süsteemsed mõisted. Sõltumata sellest, millises vanuses ainet hakatakse õpetama, alustatakse õpetamist vastava teadmiste valdkonna tavamõistete arendamisest teadusmõisteteks. Alles teadusmõistelise mõtlemise omandamise järel alustatakse süsteemse mõtlemise arendamisega. Igas teadmiste valdkonnas tuleb uuesti läbida sama arengutee (Toomela, 2003):
tavamõisteline mõtlemine > teadusmõisteline mõtlemine > süsteemne mõtlemine.
Mõiste tekkimiseks tuleb läbida järgmised etapid (Kaasik & Lepmann, 2002).
I etapp: alustatakse konkreetsetest näidetest. Siin on kaks võimalust:
1) induktiivne (näited tuuakse enne definitsiooni),
2) deduktiivne (näited esitatakse pärast mõiste defineerimist).
Enne definitsiooni pakutavate näidetega juhitakse õpilase tähelepanu teatava klassi nähtuste ühistele omadustele, tuues need esile. Pärast definitsiooni esitatavad näited peaksid tõestama määratletud objektide olemasolu ning kaasa aitama mõistet määravate omaduste kinnistumisele. Raskemate mõistete õpetamisel võib tuua näiteid nii enne kui pärast definitsiooni.
Näidete varal tuuakse esile kujundatava mõiste olulised ja mitteolulised tunnused. Selleks on erinevaid võimalusi.
II etapp: näidete analüüs.
Tuuakse välja olulised omadused, mis on kõigil olemas, ja mitteolulised, mis mõnedel objektidel on ja mõnedel mitte.
III etapp: oluliste omaduste süntees ja üldistamine.
IV etapp: mõiste defineerimine.
Esimeses ja teises kooliastmes on vähe definitsioone. Kuna defineerimine eeldab üldistamise oskust, ei ole igasuguste mõistete defineerimine õpilasele selles eas jõukohane.
V etapp: mõiste rakendamine erinevate ülesannete lahendamisel.
Mõiste omandatust saab kontrollida mitmel erineval viisil.
1. Nimetuse andmise oskus. Õpilastele esitatakse teatud objekte ja nad peavad andma neile objektidele võimalikult täpse nimetuse.
2. Objektide äratundmise oskus. Sel korral esitatakse õpilastele teatud termin ja nad peavad ära tundma terminile vastavad objektid.
3. Näite toomise oskus. Õpilastele esitatakse mõistele vastav termin ja nad peavad tooma näiteid terminile vastavatest objektidest.
4. Definitsiooni täiendamise oskus. Õpilastele esitatakse definitsioon ilma terminita ja nad peavad täiendama definitsiooni täpse terminiga.
5. Mõiste defineerimisoskus. Õpilastele esitatakse mõistele vastav termin ja nad peavad andma selle mõiste definitsiooni.
6. Mõiste mõistmise oskus. Õpilased peavad oskama põhjendada, miks üks objekt kuulub antud mõiste alla, teine aga mitte.
Mõistete süsteemi kujunemiseks tuleks osata mõisteid endid klassifitseerida ja selle kaudu ka mõistevahelisi seoseid uurida. Mõistete mahtu ja mõistetevahelisi seoseid aitab piltlikult kirjeldada Venni diagramm. Suurema hulga mõistete omavahelistest seostest saab ülevaate mõiste- või mõttekaardi abil (Kaasik & Lepmann, 2002). Mõistekaart on üldiselt hierarhiline. Mõttekaardid ehk ideekaardid on mittehierarhilised, kus paigutus on vabam. Nii mõiste- kui ka mõttekaart aitavad õpilast kordamisel, kontrolltööks valmistumisel ning hiljem ka materjali meeldetuletamisel. Kaardi koostamisel peab õpilane veel kord teksti mõtestatult lugema, arutlema olulise ja vähemolulise üle, eraldama tekstist mõisted, seostama mõisteid, korrastama seoseid ja esitama neid visuaalselt.
Viidatud ja soovituslik kirjandus
1. Kaasik, K. & Lepmann, L. (2002). Väike metoodikaraamat II kooliastme matemaatikaõpetajale (lk. 30-39). Tallinn: Avita.
Antakse ülevaade mõiste kujundamise erinevatest metoodikatest, mõiste omandatuse kontrollimisest ja mõistete süsteemi kujundamisest.
2. Kikas, E. (2008). Õppimise erinevad viisid. Õppimise protsess. Teadmiste areng. Kogumikus E. Kikas (Toim), Õppimine ja õpetamine koolieelses eas, lk. 106-108, Tartu: TÜ kirjastus.
Kirjeldatakse otsest ja semiootiliselt vahendatud õppimise protsessi. Räägitakse tava-, teadus- ja sünteetilistest mõistetest ning nende arengust.
3. Toomela, A. (2003). Mõtlemise areng. Määratlused ja põhimõtted.
http://www.ut.ee/curriculum/orb.aw//action=preview/id=36749/mot_yld.pdf
Antakse ülevaade mõtlemise ühikute (tava-, teaduslike ja süsteemsete mõistete) arengust.
Mõiste on aluseks igasugusele mõtlemisele. Mõtlemise ühikute arengu etapid arengulises järjekorras on tavamõisted, teaduslikud mõisted ja süsteemsed mõisted. Sõltumata sellest, millises vanuses ainet hakatakse õpetama, alustatakse õpetamist vastava teadmiste valdkonna tavamõistete arendamisest teadusmõisteteks. Alles teadusmõistelise mõtlemise omandamise järel alustatakse süsteemse mõtlemise arendamisega. Igas teadmiste valdkonnas tuleb uuesti läbida sama arengutee (Toomela, 2003):
tavamõisteline mõtlemine > teadusmõisteline mõtlemine > süsteemne mõtlemine.
Mõiste tekkimiseks tuleb läbida järgmised etapid (Kaasik & Lepmann, 2002).
I etapp: alustatakse konkreetsetest näidetest. Siin on kaks võimalust:
1) induktiivne (näited tuuakse enne definitsiooni),
2) deduktiivne (näited esitatakse pärast mõiste defineerimist).
Enne definitsiooni pakutavate näidetega juhitakse õpilase tähelepanu teatava klassi nähtuste ühistele omadustele, tuues need esile. Pärast definitsiooni esitatavad näited peaksid tõestama määratletud objektide olemasolu ning kaasa aitama mõistet määravate omaduste kinnistumisele. Raskemate mõistete õpetamisel võib tuua näiteid nii enne kui pärast definitsiooni.
Näidete varal tuuakse esile kujundatava mõiste olulised ja mitteolulised tunnused. Selleks on erinevaid võimalusi.
- Esitame vaid ühe näite – tähistav metoodika
Ainult ühe näite toomine on didaktiliselt kõige ebaõnnestunum nii induktiivse kui deduktiivse tee korral. Induktiivsel juhul on oht kitsamate mõistete tekkimiseks. Mitteolulised omadused võivad kanduda oluliste hulka. - Esitame mitu positiivset näidet – liigendav metoodika.
Enne definitsiooni esitatavad näited peavad maksimaalse selgusega olulise esile tooma. Pärast definitsiooni esitatud näidete eesmärgiks on definitsiooni illustreerimine ja kinnistamine. Näited esitatakse nii, et mõiste ebaolulised tunnused varieeruvad. Näidete analüüs sunnib õpilasi võrdlema ja otsima erinevate objektide ühiseid tunnuseid. - Esitame lisaks positiivsele näitele ka kontranäiteid – vastandav metoodika.
Mõiste olulised tunnused tuuakse esile positiivse näite ja kontranäite võrdluse käigus. Induktiivse tee kontranäidetest tingitud “müra” peab olema viidud miinimumini.
II etapp: näidete analüüs.
Tuuakse välja olulised omadused, mis on kõigil olemas, ja mitteolulised, mis mõnedel objektidel on ja mõnedel mitte.
III etapp: oluliste omaduste süntees ja üldistamine.
IV etapp: mõiste defineerimine.
Esimeses ja teises kooliastmes on vähe definitsioone. Kuna defineerimine eeldab üldistamise oskust, ei ole igasuguste mõistete defineerimine õpilasele selles eas jõukohane.
V etapp: mõiste rakendamine erinevate ülesannete lahendamisel.
Mõiste omandatust saab kontrollida mitmel erineval viisil.
1. Nimetuse andmise oskus. Õpilastele esitatakse teatud objekte ja nad peavad andma neile objektidele võimalikult täpse nimetuse.
2. Objektide äratundmise oskus. Sel korral esitatakse õpilastele teatud termin ja nad peavad ära tundma terminile vastavad objektid.
3. Näite toomise oskus. Õpilastele esitatakse mõistele vastav termin ja nad peavad tooma näiteid terminile vastavatest objektidest.
4. Definitsiooni täiendamise oskus. Õpilastele esitatakse definitsioon ilma terminita ja nad peavad täiendama definitsiooni täpse terminiga.
5. Mõiste defineerimisoskus. Õpilastele esitatakse mõistele vastav termin ja nad peavad andma selle mõiste definitsiooni.
6. Mõiste mõistmise oskus. Õpilased peavad oskama põhjendada, miks üks objekt kuulub antud mõiste alla, teine aga mitte.
Mõistete süsteemi kujunemiseks tuleks osata mõisteid endid klassifitseerida ja selle kaudu ka mõistevahelisi seoseid uurida. Mõistete mahtu ja mõistetevahelisi seoseid aitab piltlikult kirjeldada Venni diagramm. Suurema hulga mõistete omavahelistest seostest saab ülevaate mõiste- või mõttekaardi abil (Kaasik & Lepmann, 2002). Mõistekaart on üldiselt hierarhiline. Mõttekaardid ehk ideekaardid on mittehierarhilised, kus paigutus on vabam. Nii mõiste- kui ka mõttekaart aitavad õpilast kordamisel, kontrolltööks valmistumisel ning hiljem ka materjali meeldetuletamisel. Kaardi koostamisel peab õpilane veel kord teksti mõtestatult lugema, arutlema olulise ja vähemolulise üle, eraldama tekstist mõisted, seostama mõisteid, korrastama seoseid ja esitama neid visuaalselt.
Viidatud ja soovituslik kirjandus
1. Kaasik, K. & Lepmann, L. (2002). Väike metoodikaraamat II kooliastme matemaatikaõpetajale (lk. 30-39). Tallinn: Avita.
Antakse ülevaade mõiste kujundamise erinevatest metoodikatest, mõiste omandatuse kontrollimisest ja mõistete süsteemi kujundamisest.
2. Kikas, E. (2008). Õppimise erinevad viisid. Õppimise protsess. Teadmiste areng. Kogumikus E. Kikas (Toim), Õppimine ja õpetamine koolieelses eas, lk. 106-108, Tartu: TÜ kirjastus.
Kirjeldatakse otsest ja semiootiliselt vahendatud õppimise protsessi. Räägitakse tava-, teadus- ja sünteetilistest mõistetest ning nende arengust.
3. Toomela, A. (2003). Mõtlemise areng. Määratlused ja põhimõtted.
http://www.ut.ee/curriculum/orb.aw//action=preview/id=36749/mot_yld.pdf
Antakse ülevaade mõtlemise ühikute (tava-, teaduslike ja süsteemsete mõistete) arengust.